掌握微积分思想，高效求解整数部分问题

东大高考题。

如果今年高考的压缩题考这道题目，信任得分率不超过百分之十。这道题目是节选至东京大学高考压缩题，题目给的很简单，只要求出这个的整数部分，大家可以暂停挑战一下。看该如何解决这个问题。

看到这个问题的第一反应，大部分同学是面相，列项一除以根号该如何列项？好像不知道从何左手，能不能从其他方向去思考？列如首尾相加也无法进行合并。这个时候看一看，每一项都是一个函数，某一个函数的形式，十一除以根号x，它是这个上面的点，能不能用函数图像去分析它？

试一下，这是y等于一除以公二x，一是x等于一处的点。为了方便后面的图形画，第一个画的并不准，这个时候x应该等于y的。二这个点在这里，对应的是一除以二，三，四，五，new。

一表明的是什么？可以认为一乘以一表明的是个面积，一除以根号表明的是什么？这一段长是一除以根号二，它乘以一也是一除以根号二，表明的是这一部分面积，一除以根号三表明的是这一部分面积，只不过把乘一这一部分当成隐含条件而已。

整个的式子的e就是这么多长方形的面积，很显这么多长方形的面积跟曲线的积分是有关系的。既可以这样画这些长方形，也可以这样画，这个是一乘一，这个是一乘以一除以根号二，这个是一乘以一除以根号三。很显然这些长方形的面积加起来肯定是大于曲线所围乘的面积大于积分的。

设这个指示m，m是大于从一到四万的积分，是一除以根号x的积分。这个积分比较容易求，它是二倍的根号x，从一到四万等于三百九十八，也就是m的值是大于三百九十八的。目前必须确定它小于某一个值，然后才能确定整数部分，大致能够猜到是三百九十九。

如何证明？第一反应是把长方形画到曲线之下，这个长方形，这个长方形，这个长方形，很显然这一部分的面积是这个，这一部分面积是这个，积分就应该从零开始，从零到四万的积分，一除以根号x，dx，这个是大于m的，也就是二倍的根号x，从零到四万等于失败。

结果发现只能证明m小于四百，到底是三百九十九还是三百九十八不确定，该怎么办？注意到多一部分的面积是哪一份最大？这一部分从零到一，这一部分的面积最大，如果不算它就好算许多。所以算第二次积分的时候，从这个开始算，大家可以暂停体会一下，这一部分造成误差比较大，从这个开始画，上面的这些面积肯定是大于这些长方形的面积的，也就是从一到四万的积分肯定是大于一除以根号二加上一除以根号三，一直加到一除以根号到十万的。

两边头加一得正，上面这个是三百九十九，这边刚好就是所说的m大于三百九十八，小于三百九十九，m的整数部分是三百九十八。这个题目最难的一点就是把握清楚积分最基本的含义，它是向上接近还是向下接近，深刻的理解积分计算的过程自然就能够解决这个问题。

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